La diferencia entre el caso degenerado y el caso no degenerado está relacionada con las propiedades de los números implicados. La combinación de (n=20,1 = 100) tiene propiedades radicalmente diferentes con respecto a (n=20,1=101). La diferencia principal es que 20 y 101 son ?primos relativos?, lo que significa que no tienen factores comunes. Eso significa que su MCM es un número grande —de hecho, es igual a 1 x n = 20 x 1001 = 2020. Mientras que el MCM de 20 y 100 es sólo 100. La bicicleta 1=101 tiene un periodo largo —pasa por muchos estados diferentes antes de volver al principio—, mientras que la bicicleta 1=100 tiene un periodo de unos pocos estados.
Supongamos que la bicicleta de Turing fuese una máquina de cifrado que actuase por sustitución alfabética, lo que es lo mismo que decir que reemplazaría cada una de las 26 letras del alfabeto por alguna otra letra. Una A en el texto original se podría convertir en una T en el texto cifrado, B podría transformarse en F, C podría convertirse en M, y así hasta llegar a la Z. Por sí mismo, sería un código absurdamente fácil de romper; cosa de ni?os. Pero supongamos que el esquema de sustitución cambiase de una letra a la siguiente. Es decir, supongamos que la primera letra del texto original fuese cifrada usando cierto alfabeto de sustitución, la segunda letra del texto original fuese cifrada usando un alfabeto de sustitución completamente diferente, y la tercera con otro diferente, y así sucesivamente. Eso se conoce como un cifrado polialfabético.
Supongamos que la bicicleta de Turing fuese capaz de generar un alfabeto diferente para cada uno de sus diferentes estados. Por tanto el estado (d=0, C=0) correspondería, digamos, a este alfabeto de sustitución:
pero el estado (0=180, C=15) correspondería a este otro, diferente:
Dos letras no serían cifradas usando el mismo alfabeto de sustitución, es decir, hasta que la bicicleta no llegase de nuevo al estado inicial (9=0, C=0) y empezase a repetir el ciclo. Eso significa que se trata de un sistema polialfabético periódico. Ahora bien, si la máquina tuviese un periodo corto, se repetiría con frecuencia, y por tanto sería útil, como sistema de cifrado, sólo contra los ni?os. Cuanto más largo sea el periodo (cuanto mayor sea su primidad relativa) con menos frecuencia vuelve al mismo alfabeto de sustitución, y más seguro es.
La Enigma de tres rotores es ese tipo de sistema (es decir, poli alfabético periódico). Sus rotores, como el sistema de la bicicleta de Turing, contienen ciclos dentro de ciclos. Su periodo es 17.576, lo que significa que el alfabeto de sustitución que cifra la primera letra del mensaje no volverá a emplearse hasta que se llegue a la letra 17.577. Pero con Tiburón, los alemanes han a?adido un cuarto rotor, elevando el periodo hasta 456.976. Los rotores se sitúan en una posición inicial diferente elegida al azar al comienzo de cada mensaje. Como los mensajes alemanes nunca llegan a los 450.000 caracteres, la Enigma nunca usa dos veces el mismo alfabeto de sustitución en un mismo mensaje, razón por la que los alemanes la consideran un buen sistema.
Un grupo de aviones de transporte pasan por encima de sus cabezas, muy probablemente en dirección al aeródromo de Bedford. Los aviones producen un zumbido diatónico curiosamente musical, como una gaita tocando dos tonos simultáneamente. Eso recuerda a Lawrence otro fenómeno más relacionado con la rueda de la bicicleta y la máquina Enigma.
—?Sabes por qué los aviones suenan así? —pregunta.
—No, ahora que lo pienso. —Turing vuelve a quitarse la máscara antigás. Tiene la boca algo abierta y mueve los ojos de un lado a otro. Lawrence lo ha pillado por sorpresa.
—Me di cuenta en Pearl. Los motores de los aviones son rotatorios —dice Lawrence—. Por tanto, deben tener un número impar de cilindros.
—?Por tanto?
—Si tuviesen un número par, los cilindros estarían directamente en oposición, a ciento ochenta grados, y no funcionarían mecánicamente.
—?Porqué no?
—Lo he olvidado. Pero no funcionaría.
Alan arquea las cejas. Claramente no está convencido.
—Es algo relativo a los cigüe?ales —aventura Waterhouse, poniéndose algo a la defensiva.
—No estoy seguro de estar de acuerdo —dice Alan.
—Vamos a estipularlo… considéralo una condición de contorno —dice Waterhouse. Pero sospecha que Alan ya está concentrado, dise?ando mentalmente un motor rotatorio de avión con un número par de cilindros.
—En todo caso, si los miras, todos tienen un número impar de cilindros —sigue diciendo Lawrence—. Por lo que el sonido de la expulsión se combina con el sonido de la hélice para producir ese sonido de dos tonos.
Alan vuelve a subir a la bicicleta y pedalea por el bosque sin hablar. En realidad, no han estado hablando sino más bien mencionando ciertas ideas y dejando que el otro desarrolle las implicaciones. Es una forma extremadamente eficaz de comunicarse; elimina los elementos redundantes de los que se quejaba Alan en el caso de FDR y Churchill.
Waterhouse está pensando en ciclos dentro de ciclos. Ya ha decidido que la sociedad humana es uno de esos supuestos de ciclos dentro de ciclos [8] y ahora intenta decidir si es como la bicicleta de Turing (funciona bien durante un rato, y de pronto la cadena se cae; de ahí la ocasional guerra mundial) o como la máquina Enigma (se mueve incomprensiblemente durante un tiempo, y luego de pronto los rotores se alinean como en un tragaperras y todo queda claro en una especie de epifanía global o, si se prefiere, Apocalipsis) o como un motor rotatorio de avión (gira, gira y gira; no sucede nada especial, simplemente produce mucho ruido).
—?Está en algún sitio… por aquí! —dice Alan, y frena violentamente sólo para fastidiar a Lawrence, quien tiene que girar para esquivarle, un truco arriesgado en un camino tan estrecho, y dar la vuelta.
Apoyan las bicicletas contra los árboles y cogen parte del equipo de las canastas: baterías secas, placas de prototipos electrónicos, un palo, una pala, rollos de alambre. Alan mira con incertidumbre y luego camina hacia el bosque.
—Pronto iré a Estados Unidos a trabajar en ese problema de cifrado de voz en Bell Labs —dice Alan.
Lawrence ríe pesaroso.
—Tú y yo somos como barcos que se cruzan en la noche.
—Somos pasajeros en barcos que se cruzan en la noche —le corrige Alan—. No es un accidente. Te necesitan precisamente porque yo me voy. Hasta ahora he estado haciendo todo el trabajo de 2701.
—Ahora es el Destacamento 2702 —dice Lawrence.
—Oh —dice Alan abatido—. Te diste cuenta.